Всенародная слава и известность пришла к Евстигнееву после фильма Элема Климова "Добро пожаловать, или Вход воспрещен" (1964), где он сыграл начальника детского лагеря. Актеру удавались роли внешне колючих и неуживчивых, а на самом деле добродушных и наивных героев.